Geometria Fractal: uma viagem do Caos à Ordem

“Ver um mundo num grão de areia
e o céu numa flor silvestre
é ter o infinito na palma da mão
e a eternidade numa hora.”

Neste poema, o poeta inglês William Blake foi capaz de capturar algo essencial sobre o mundo natural que nos cerca e que existe dentro de nós. Ele destaca a conexão entre o “mundo grande” e o “mundo pequeno”, e observa que padrões semelhantes ocorrem em escalas muito diferentes do espaço e do tempo. Sem o perceber , Blake conseguiu capturar a essência de um conceito que só foi totalmente descrito 200 anos depois de seu poema – fractais.

O que é um fractal?

Um fractal é um padrão geométrico que se repete em diferentes escalas de observação, tanto espaciais quanto temporais, num nível micro e macro. Para melhor compreender esta ideia, imaginem uma imagem ou uma forma em que, à medida que se vai ampliando ou reduzindo o zoom, acaba por se encontrar formas semelhantes às vistas anteriormente. Os fractais têm uma característica chamada “auto-similaridade” – ela dá-nos a sensação de que, enquanto continuamos a ampliar a imagem, estamos exatamente onde estávamos antes… mas não estamos. Confuso? Vamos então, passo-a-passo, tentando entender estas estruturas.

A História por detrás dos Fractais

Começando pela Grécia Antiga, os filósofos gregos começaram a notar algumas associações interessantes. Estruturas tão distintas quanto a espiral da casca de um caracol, as ramificações de uma árvore ou o ornamento da cauda de um pavão pareciam reproduzir as mesmas periodicidades e padrões. Eles perceberam que o número 1.6180 parecia explicar racionalmente essas repetições – e essa proporção mais tarde passou a ser conhecida como a “proporção de ouro”.

Hermes Trimegisto, pai da Alquimia, também tinha um ponto de vista interessante e semelhante. No seu intitulado “Princípio da Correspondência”, ele diz-nos: “O que está abaixo é como o que está acima, e o que está acima é como o que está abaixo” (equivalente ao nosso “assim na Terra como no céu”). Esta é uma citação de uma de suas obras, a “Tábua Esmeralda”, que deu origem à Alquimia, cujo objetivo era alcançar a sabedoria através da compreensão da misteriosa relação entre o micro e o macrocosmos.

Ao longo da história humana, têm havido inúmeras referências a este fenómeno nas mais diversas áreas, desde a arte à filosofia, passando pela arquitectura, geografia e biologia. Mas a compreensão destas fascinantes peças do infinito só surgiram em 1979 através da matemática, esta que é considerada por muitos como a mãe de todas as ciências. A matemática foi considerada “a música da razão” por James Joseph Sylvester e “a poesia das idéias lógicas” por Albert Einstein. Através do reino dos números, Benoit Mandelbrot foi capaz de descrever os fractais numa expressão surpreendentemente simples, resultando numa​ ​estrutura de imensa complexidade chamada “The Mandelbrot Set”.

Um conceito transformador

Como as teorias de Einstein resolveram as limitações das leis de Newton, esta nova geometria de Mandelbrot, chamada geometria fractal, conseguiu explicar fenómenos que a geometria euclidiana não conseguia, entrelaçando assim a aparente aleatoriedade de partes ao todo, e dando uma ordem ao que outrora foi considerado caos.

Os fractais são estruturas verdadeiramente fascinantes porque revelam um padrão oculto mas decifrável, presente em vários processos no universo. Eles revelam formas incrivelmente semelhantes em escalas completamente diferentes.

Como referimos anteriormente, os fractais podem ser encontrados em escalas drasticamente diferentes. Recentemente, os cientistas encontraram uma bela estrutura fractal no reino quântico. A imagem abaixo representa um tipo de figura fractal chamada triângulo Sierpinski e, neste caso, mostra a densidade de eletrões na superfície de cobre, como podes ver neste vídeo.

Mas não só os objetos físicos apresentam formas fractais… Quando tentamos representar certos fenómenos num diagrama, estes revelam padrões que mostram a mesma qualidade fractal presente em fotos aéreas de rios ou no relâmpago que se ramifica. Uma árvore evolutiva é um bom exemplo desse tipo.

As propriedades terapêuticas dos fractais

Além da suas sublimes qualidades estéticas, sabiam que os fractais são verdadeiramente relaxantes para os nossos olhos e mentes e que também ajudam a restaurar as nossas habilidades cognitivas? Há uma razão, como Agnes Van Den Berg, Yannick Joye e Sander Koole disseram no seu estudo “Porque é que ver a natureza é mais fascinante e restaurador do que visualizar edifícios?”. Em particular, de acordo com a Teoria da Restauração da Atenção de Stephen Kaplan, as cenas e paisagens naturais “captam a nossa atenção de uma maneira agradável e sem esforço, permitindo que a mente descanse e vagueie livremente enquanto a capacidade de direcionar a atenção é reabastecida”

Esta forma agradável de prestar atenção é descrita como “fascínio suave” (como olhar para as chamas numa lareira ou contemplar uma floresta). De volta ao estudo de Van Den Berg, Joye e Koole – a razão pela qual olhar para a natureza é calmante e terapêutico, tem muito provavelmente a ver com a qualidade fractal das estruturas da natureza. Os fractais naturais (mais ainda do que os fractais artificiais) têm a quantidade certa de complexidade visual para repor as nossas capacidades cognitivas e não nos deixar esgotados por elas.

Inspirado por toda esta inteligência natural, criei o logotipo do meu projeto, Breathe Portugal. É uma simples representação de um fractal: um ramo de uma árvore que se divide em ramos mais pequenos e idênticos.

A beleza de tudo isto é que, para além dos fractais serem absolutamente fascinantes… eles estão por toda a parte!
Só temos de estar atentos.